O dilema de Benacerraf
Se está fora deste mundo, como é que conhecemos?
O dilema de Benacerraf tem a ver com o conhecimento de entidades abstratas – isto é, de entidades que estão fora do espaço e do tempo, sendo, portanto, causalmente inertes.
O dilema tem dois lados.
O primeiro lado tem a ver com a referência dos sinais que usamos para raciocinar. Por um lado, se você sabe que 1+1=2, então os sinais "1", "+", "=" e "2" devem se referir a alguma coisa. Caso contrário, não significariam nada.
O segundo lado tem a ver com a ontologia – isto é, com as coisas que existem. A questão é: as entidades referidas pelos sinais matemáticos existem? Este lado também tem a ver com a metafísica – isto é, com como a realidade é. A realidade inclui entidades matemáticas? Há entes que estão fora do espaço e do tempo?
Nada que esteja no espaço e no tempo conta como referência das entidades matemáticas. Se estivessem no espaço-tempo, as referências destes sinais seriam concretas. Mas não estão. Exatamente por isso, os sinais designam entidades abstratas. Mas, como podemos conhecer algo que não pode nos afetar, dado que está fora do nosso mundo concreto?
Com estas duas questões, temos o dilema de Benacerraf. Por um lado, para que o raciocínio matemático seja sobre algo humanamente alcançável, a referência deste raciocínio deve ser algo deste mundo. Por outro lado, nada deste mundo é tal como uma entidade matemática tem que ser. Assim sendo, uma exigência anula a outra.
Como resolver o dilema? Não sei, mas as quatro alternativas abaixo ajudam a pensar no assunto.
Opção 1. Os sinais de números têm referência neste mundo.
Nesta caso, os números existem no espaço e no tempo. Será que estão em Ivorá? Ou estarão noutra galáxia? São algo que se descobre com uma pá? Ou com um telescópio?
Opção 2. Os sinais de números têm referência n’outro mundo.
O que acontece, se adotamos esta solução, é que temos a capacidade de transcender o mundo concreto. Se esta proposta parece misticismo é porque é.
Opção 3. Os sinais de números não designam nada, mas os números são concretos.
Quer dizer que os números estão em algum lugar do universo concreto, mas nossos sinais de números não os designam? Uau!
Opção 4. Os sinais de números não designam nada, e os números são abstratos.
Quase tão ruim quanto a opção acima. Ao menos, reconhece-se que os números são abstratos.
Na forma de uma tabela:
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Objeção. Só há dilema se existirem números. Mas os números não existem.
Resposta. Diga isso para quem se preocupa com o peso.
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Objeção. Números existem, mas de uma maneira indetectável.
Resposta. Como você sabe?
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Objeção. Números existem, mas é um tipo de existência diferente da nossa.
Resposta. Isso significa que os números existem ou que não existem?
Oi César! Meus dois centavos na conversa: eu acho que o dilema de Benacerraf é um falso dilema. Ele depende justamente de que assumamos que os termos matemáticos têm função designativa. Se descartamos essa assumpção, o dilema se dissolve (ganhamos outros problemas com os quais precisamos lidar, é claro). Há quem diga (e.g., Burgess e Rosen em A subject with no object) que, tomada em seu valor de face, a linguagem matemática é claramente designativa. Afinal, nós dizemos, por exemplo, que *há* infinitos números primos. Contudo, o argumento desconsidera o fenômeno da reificação de nossa linguagem. Nós temos razões para pensar que isso está acontecendo na linguagem matemática (a leitura face-valued não é obviamente correta). Abraço!